Question

15．已知函數f（x）=x²+ax+4
（1）若f（x）在[1，+∞）上遞增，求實數a的范圍；
（2）求f（x）在[-2，1]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函數f（x）的對稱軸，得到關于a的不等式，解出即可；（2）通過討論a的范圍，求出函數的最小值即可．

解答 解：（1）若f（x）在[1，+∞）上遞增，
則對稱軸x=-$\frac{a}{2}$≤1，∴a≥-2；
（2）f（x）的對稱軸是：x=-$\frac{a}{2}$，
-$\frac{a}{2}$≤-2時，即a≥4時，f（x）在[-2，1]遞增，
故f（x）_min=f（-2）=8-2a，
-$\frac{a}{2}$≥1時，即a≤-2時，f（x）在[-2，1]遞減，
故f（x）_min=f（1）=5+a，
-2≤a≤4時，f（x）在[-2，-$\frac{a}{2}$）遞減，在（-$\frac{a}{2}$，1]遞增，
f（x）_min=f（-$\frac{a}{2}$）=4-$\frac{{a}^{2}}{4}$，
綜上：f（x）min=$\left\{\begin{array}{l}{8-2a，a＞4}\\{4-\frac{{a}^{2}}{4}，-2≤a≤4}\\{5+a，a＜-2}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了二次函數的性質，考查函數的單調性以及分類討論思想，是一道中檔題．