Question

15．設(shè)曲線C：y=-lnx（0＜x≤1）在M（e^-t，t）（t≥0）處的切線為l，若直線l與x軸及y軸所圍成的三角形的面積為S（t），則S（t）的最大值是$\frac{2}{e}$．

Answer 1

分析 先求導(dǎo)數(shù)，可得切線斜率，進(jìn)而可求切線方程；根據(jù)曲線C：y=-lnx（0＜x≤1）在點(diǎn)M（e^-t，t）（t≥0）處的切線l與x軸y軸所圍成的三角形面積為S（t），表示出S（t），再用導(dǎo)數(shù)法求解單調(diào)區(qū)間和最值．

解答 解：∵y=-lnx（0＜x≤1）導(dǎo)數(shù)f′（x）=-$\frac{1}{x}$，
∴切線l的斜率為-e^t，
故切線l的方程為y-t=-e^t（x-e^-t），即e^tx+y-（t+1）=0，
令x=0得y=t+1，又令y=0得x=e^-t（t+1），
∴S（t）=$\frac{1}{2}$（1+t）•e^-t（t+1）=$\frac{1}{2}$（1+t）²•e^-t，
從而S′（t）=$\frac{1}{2}$•e^-t（1-t）（1+t）．
∵當(dāng)t∈（0，1）時(shí)，S′（t）＞0，當(dāng)t∈（1，+∞）時(shí)，S′（t）＜0，
∴S（t）的最大值為S（1）=$\frac{2}{e}$，即S（t）的最大值為$\frac{2}{e}$．
故答案為：$\frac{2}{e}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．