Question

7．如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分別是CD和PC的中點．
求證：（1）PA⊥底面ABCD；（2）平面BEF∥平面PAD．

Answer 1

分析 （1）由PA⊥AD，得平面PAD⊥底面ABCD，由此能證明PA⊥底面ABCD．
（2）由E和F分別是CD和PC的中點，得EF∥PD，從而EF∥平面PAD，進而四邊形ABED是平行四邊形，由此能證明平面BEF∥平面PAD．

解答 證明：（1）因為PA⊥AD，平面PAD⊥底面ABCD，
平面PAD∩底面ABCD=AD，PA?平面PAD，
所以PA⊥底面ABCD．…（4分）
（2）因為E和F分別是CD和PC的中點，所以EF∥PD，…（6分）
而EF?平面PAD，PD?平面PAD，
所以EF∥平面PAD；…（8分）
因為AB∥CD，CD=2AB=2ED，
所以四邊形ABED是平行四邊形，…（10分）
所以BE∥AD，而BE?平面PAD，AD?平面PAD，
所以BE∥平面PAD；…（12分）
而EF?平面BEF，BE?平面BEF，EF∩BE=E，
所以平面BEF∥平面PAD．…（14分）

點評 本題考查線面垂直的證明，考查面面平行的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．