Question

已知函數(shù)y=log_a（x+3）+6（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)M，橢圓G：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左，右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，直線l經(jīng)過點(diǎn)M且與⊙C：x²+y²+2x-6y+9=0相切．
（1）求直線l的方程；
（2）若直線l經(jīng)過點(diǎn)F₂并與橢圓G在x軸上方的交點(diǎn)為P，且cos∠F₁PF₂=

7

25

，求△PF₁F₂內(nèi)切圓的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）函數(shù)y=log_a（x+3）+6（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)M（-2，6），⊙C的圓心為C（-1，3），半徑r=1．對(duì)切線的斜率分類討論，利用點(diǎn)到直線的距離公式與切線的性質(zhì)即可得出．
（2）設(shè)∠F₁PF₂=α，∠F₁F₂P=β，則由cosα=

7

25

，得sinα=

24

25

．又由直線l的斜率為k=-

4

3

，可得sin∠PF₁F₂=

4

5

．有∠PF₁F₂=β，△F₁PF₂是等腰三角形，點(diǎn)P是橢圓的上頂點(diǎn)．易知P(0，

10

3

)． 于是△PF₁F₂內(nèi)切圓的圓心D在線段PO上．設(shè)D（0，m），內(nèi)切圓半徑為r．則0＜m＜

10

3

，r=m．解出即可．

解答： 解：（1）函數(shù)y=log_a（x+3）+6（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)M（-2，6），
⊙C的圓心為C（-1，3），半徑r=1．
①當(dāng)l⊥x軸時(shí)，l的方程為x+2=0，易知l和⊙C相切．
②當(dāng)l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為y-6=k（x+2），即kx-y+2k+6=0，
圓心C（-1，3）到l的距離為d=

|k+3|

k2+1

．
由l和⊙C相切，得

|k+3|

k2+1

=1，解得k=-

4

3

．
于是l的方程為4x+3y-10=0．
綜上，得直線l的方程為x+2=0，或4x+3y-10=0． 
（2）設(shè)∠F₁PF₂=α，∠F₁F₂P=β，則由cosα=

7

25

，得sinα=

24

25

．
又由直線l的斜率為k=-

4

3

，得sinβ=

4

5

，cosβ=

3

5

． 
于是sin∠PF1F2=sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=

24

25

×

3

5

+

7

25

×

4

5

=

4

5

．
有∠PF₁F₂=β，△F₁PF₂是等腰三角形，點(diǎn)P是橢圓的上頂點(diǎn)．
易知P(0，

10

3

)．  
于是△PF₁F₂內(nèi)切圓的圓心D在線段PO上．
設(shè)D（0，m），內(nèi)切圓半徑為r．則0＜m＜

10

3

，r=m．
由點(diǎn)D到直線l的距離d=

|3m-10|

5

=r=m，解得m=

5

4

．  
故△PF₁F₂內(nèi)切圓的方程為x2+(y-

5

4

)2=

25

16

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與圓相切問題、斜率計(jì)算公式、點(diǎn)到直線的距離公式、三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．