Question

3．已知$\overrightarrow m$=（cosα，sinα），$\overrightarrow n$=（$\sqrt{3}$，-1），α∈（0，π）．
（1）若$\overrightarrow m$⊥$\overrightarrow n$，求角α的值；
（2）求|$\overrightarrow m$+$\overrightarrow n$|的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量垂直的坐標公式建立方程進行求解即可．
（2）根據(jù)向量和以及向量模長的公式進行化簡求解．

解答 解：（1）因為$\overrightarrow m=（{cosα，sinα}），\overrightarrow n=（{\sqrt{3}，-1}）$，且$\overrightarrow m⊥\overrightarrow n$
所以$\sqrt{3}cosα-sinα=0$，…（2分）
   即$tanα=\sqrt{3}$，又α∈（0，π），…（4分）
所以$α=\frac{π}{3}$，…（6分）
（2）因為$\overrightarrow m+\overrightarrow n=（cosα+\sqrt{3}，sinα-1）$，…（8分）
所以$|{\overrightarrow m+\overrightarrow n}|=\sqrt{{{（{cosα+\sqrt{3}}）}^2}+{{（{sinα-1}）}^2}}=\sqrt{5+2\sqrt{3}cosα-2sinα}$=$\sqrt{5+4cos（α+\frac{π}{6}）}$…（12分）
因為α∈（0，π），所以$α+\frac{π}{6}∈（\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}）$，
故當$α+\frac{π}{6}=π$時，$|{\overrightarrow m+\overrightarrow n}|$取到最小值1…（14分）

點評 本題主要考查平面向量數(shù)量積的應用，根據(jù)向量的坐標公式以及向量垂直以及向量模長的公式是解決本題的關鍵．