Question

3．已知$\overrightarrow m$=（cosα，sinα），$\overrightarrow n$=（$\sqrt{3}$，-1），α∈（0，π）．
（1）若$\overrightarrow m$⊥$\overrightarrow n$，求角α的值；
（2）求|$\overrightarrow m$+$\overrightarrow n$|的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)公式建立方程進(jìn)行求解即可．
（2）根據(jù)向量和以及向量模長的公式進(jìn)行化簡求解．

解答 解：（1）因為$\overrightarrow m=（{cosα，sinα}），\overrightarrow n=（{\sqrt{3}，-1}）$，且$\overrightarrow m⊥\overrightarrow n$
所以$\sqrt{3}cosα-sinα=0$，…（2分）
   即$tanα=\sqrt{3}$，又α∈（0，π），…（4分）
所以$α=\frac{π}{3}$，…（6分）
（2）因為$\overrightarrow m+\overrightarrow n=（cosα+\sqrt{3}，sinα-1）$，…（8分）
所以$|{\overrightarrow m+\overrightarrow n}|=\sqrt{{{（{cosα+\sqrt{3}}）}^2}+{{（{sinα-1}）}^2}}=\sqrt{5+2\sqrt{3}cosα-2sinα}$=$\sqrt{5+4cos（α+\frac{π}{6}）}$…（12分）
因為α∈（0，π），所以$α+\frac{π}{6}∈（\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}）$，
故當(dāng)$α+\frac{π}{6}=π$時，$|{\overrightarrow m+\overrightarrow n}|$取到最小值1…（14分）

點評 本題主要考查平面向量數(shù)量積的應(yīng)用，根據(jù)向量的坐標(biāo)公式以及向量垂直以及向量模長的公式是解決本題的關(guān)鍵．