Question

20．已知命題p：實(shí)數(shù)x滿足|2x-m|≥1；命題q：實(shí)數(shù)x滿足$\frac{1-3x}{x+2}$＞0．
（Ⅰ）若m=1時(shí)，p∧q為真，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；
（Ⅱ）若?p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)復(fù)合命題的真假得到p，q都為真，分別求出p，q為真時(shí)x的范圍，即可求出答案．
（Ⅱ）化簡(jiǎn)p，根據(jù)命題的否定得到$A=（{\frac{m-1}{2}，\frac{m+1}{2}}）$，$B=（{-2，\frac{1}{3}}）$，P是q的充分非必要條件，A是B的真子集，即求出m的范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵p∧q為真，∴p，q都為真…（1分）
又m=1，∴p真；|2x-1|≥1，即x≤0或x≥1…（2分）
$q真；\frac{1-3x}{x+2}＞0$，∴（1-3x）（x+2）＞0，即$-2＜x＜\frac{1}{3}$…（4分）
由$\left\{\begin{array}{l}x≤0或x≥1\\-2＜x＜\frac{1}{3}\end{array}\right.得-2＜x≤0$，
∴實(shí)數(shù)x的取值范圍為（-2，0]…（6分）
（Ⅱ）∵p：實(shí)數(shù)x滿足|2x-m|≥1，∴?p；|2x-m|＜1，即$\frac{m-1}{2}＜x＜\frac{m+1}{2}$
令$A=（{\frac{m-1}{2}，\frac{m+1}{2}}）$…（7分）
$q；-2＜x＜\frac{1}{3}$，令$B=（{-2，\frac{1}{3}}）$…（8分）
∵?P是q的充分非必要條件，A是B的真子集…（9分）
∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{m-1}{2}≥-2\\ \frac{m+1}{2}≤\frac{1}{3}\end{array}\right.（不能同時(shí)取等）$，得  $-3≤m≤-\frac{1}{3}$
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是$[{-3，-\frac{1}{3}}]$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查充分條件、必要條件、充要條件的定義，集合間的包含關(guān)系，屬于中檔題．