Question

14．已知點F₁、F₂分別是雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦點，過F₁的直線l與雙曲線C的左、右兩支分別交于A、B兩點，若|AB|：|BF₂|：|AF₂|=3：4：5，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． 2
• B． 4
• C． $\sqrt{13}$
• D． $\sqrt{15}$

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線的定義可求得a=1，∠ABF₂=90°，再利用勾股定理可求得2c=|F₁F₂|，從而可求得雙曲線的離心率．

解答 解：∵|AB|：|BF₂|：|AF₂|=3：4：5，
不妨令|AB|=3，|BF₂|=4，|AF₂|=5，
∵|AB|²+|BF₂|²=|AF₂|²，∴∠ABF₂=90°，
又由雙曲線的定義得：|BF₁|-|BF₂|=2a，|AF₂|-|AF₁|=2a，
∴|AF₁|+3-4=5-|AF₁|，∴|AF₁|=3．
∴|BF₁|-|BF₂|=3+3-4=2a，∴a=1．
在Rt△BF₁F₂中，|F₁F₂|²=|BF₁|²+|BF₂|²=6²+4²=52，
又|F₁F₂|²=4c²，∴4c²=52，
∴c=$\sqrt{13}$，
∴雙曲線的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{13}$．
故選：C．

點評 本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想與運算能力，根據(jù)條件建立方程組，根據(jù)直角三角形的邊長關(guān)系建立方程是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．