Question

3．已知函數(shù)f（x）=（2ax-x²）e^ax（a≥0）
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間$（\sqrt{2}，2）$上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間$（\sqrt{2}，2）$上存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意等價轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間上恒成立問題，最終歸結(jié)為求函數(shù)在定義域下求最值．
（Ⅱ）由題意等價轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間上能成立問題，最終歸結(jié)為求函數(shù)在定義域下求最值．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=（2ax-x²）e^ax（a≥0）在區(qū)間$（\sqrt{2}，2）$上單調(diào)遞減，
f′（x）=[-ax²+（2a²-2）x+2a]e^ax，
由函數(shù)f（x）在區(qū)間（$\sqrt{2}$，2）上單調(diào)遞減可知：f′（x）≤0對任意x∈（$\sqrt{2}$，2）恒成立，
當(dāng)a=0時，f′（x）=-2x，顯然f′（x）≤0對任意x∈（$\sqrt{2}$，2）恒成立；
當(dāng)a＞0時，f′（x）≤0等價于ax²-（2a²-2）x-2a≥0，
因?yàn)閤∈（$\sqrt{2}$，2），不等式ax²-（2a²-2）x-2a≥0等價于x-$\frac{2}{x}$≥$\frac{{2a}^{2}-2}{a}$對任意的x∈（$\sqrt{2}$，2）恒成立．
令g（x）=x-$\frac{2}{x}$，則g′（x）=1+$\frac{2}{{x}^{2}}$，在[$\sqrt{2}$，2]上顯然有g(shù)′（x）＞0恒成立，
所以函數(shù)g（x）在[$\sqrt{2}$，2]單調(diào)遞增，所以g（x）在x∈[$\sqrt{2}$，2]，上的最小值為g（$\sqrt{2}$）=0．
由于f′（x）≤0對任意x∈（$\sqrt{2}$，2），恒成立等價于x-$\frac{2}{x}$對任意x∈（$\sqrt{2}$ 2）上恒成立，
需且只需g（x）_min≥$\frac{{2a}^{2}-2}{a}$，即0≥$\frac{{2a}^{2}-2}{a}$，解得-1≤a≤1，因?yàn)閍＞0，所以0＜a≤1．
綜合上述，若函數(shù)f（x）在區(qū)間（$\sqrt{2}$，2），上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為0≤a≤1．
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間$（\sqrt{2}，2）$上存在單調(diào)遞減區(qū)間，
故f′（x）=[-ax²+（2a²-2）x+2a]e^ax ＜0在（$\sqrt{2}$，2）上能成立，
當(dāng)a=0時，f′（x）=-2x，顯然f′（x）＜0在（$\sqrt{2}$，2）上恒成立，滿足條件．
當(dāng)a＞0時，f′（x）＜0等價于ax²-（2a²-2）x-2a＞0，
等價于x-$\frac{2}{x}$＞$\frac{{2a}^{2}-2}{a}$在（$\sqrt{2}$，2）上能成立．
令g（x）=x-$\frac{2}{x}$，則g′（x）=1+$\frac{2}{{x}^{2}}$，在[$\sqrt{2}$，2]上顯然有g(shù)′（x）＞0能成立，
所以函數(shù)g（x）在[$\sqrt{2}$，2]單調(diào)遞增，所以g（x）在x∈[$\sqrt{2}$，2]，上的最大值為g（2）=1．
由于f′（x）＜0在（$\sqrt{2}$，2）上能成立，等價于1＞$\frac{{2a}^{2}-2}{a}$，
求得$\frac{1-\sqrt{17}}{4}$＜a＜$\frac{1+\sqrt{17}}{4}$．
結(jié)合可得0≤＜a＜$\frac{1+\sqrt{17}}{4}$．

點(diǎn)評 此題主要考查函數(shù)的恒成立、能成立問題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于難題．