Question

19．已知函數(shù)f（x）=Asinxcos（x+$\frac{π}{6}$）+1（其中常數(shù)A＞0）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最小值是-1，求A的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=$\frac{A}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1-$\frac{A}{4}$，由正弦函數(shù)的單調(diào)性進行求單調(diào)增減區(qū)間．
（Ⅱ）由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可得2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，求得sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，由題意可得：-$\frac{A}{2}$+1-$\frac{A}{4}$=-1，即可解得A的值．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=Asinxcos（x+$\frac{π}{6}$）+1
=Asinx（cosxcos$\frac{π}{6}$-sinxsin$\frac{π}{6}$）+1
=$\frac{A}{2}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x）+1-$\frac{A}{4}$
=$\frac{A}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1-$\frac{A}{4}$，
∴由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間：[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
（Ⅱ）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最小值是-1，可得：-$\frac{A}{2}$+1-$\frac{A}{4}$=-1，
∴解得：A=$\frac{8}{3}$．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用和正弦函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用．對于三角函數(shù)的基本性質(zhì)一定要熟練掌握，這是解題的關(guān)鍵．屬于中檔題．