Question

20．已知圓C與兩平行線5x+2$\sqrt{2}$y+3=0和5x+2$\sqrt{2}$y-63=0都相切，且圓心在x軸上．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）若過(guò)原點(diǎn)的動(dòng)直線l與圓C相交于不同的兩點(diǎn)A，B，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡C₁的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系，求出圓心與半徑，即可得到結(jié)論．
（Ⅱ）設(shè)M（x，y），則$\overrightarrow{CM}$=（x-6，y），$\overrightarrow{OM}$=（x，y）．由題設(shè)知$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{OM}$=0，由此能求出M的軌跡方程．

解答 解：（Ⅰ）∵直線5x+2$\sqrt{2}$y+3=0和5x+2$\sqrt{2}$y-63=0平行，
∴5x+2$\sqrt{2}$y+3=0和5x+2$\sqrt{2}$y-63=0的距離為d=2$\sqrt{33}$，
∵圓與直線5x+2$\sqrt{2}$y+3=0和5x+2$\sqrt{2}$y-63=0都相切，
∴圓的半徑r=$\sqrt{33}$，
∵圓心在x軸上，
∴$\frac{|5a+3|}{\sqrt{33}}$=$\frac{|5a-63|}{\sqrt{33}}$，∴a=6
則圓心為（6，0），
則圓的方程為（x-6）²+y²=33．
（Ⅱ）設(shè)M（x，y），則$\overrightarrow{CM}$=（x-6，y），$\overrightarrow{OM}$=（x，y）．
由題設(shè)知$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{OM}$=0，
故x（x-6）+y²=0，即（x-3）²+y²=9（0＜x≤6）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查圓的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的方程和性質(zhì)的合理運(yùn)用．