9.已知正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且$\sqrt{{S}_{n}}$是1與an的等差中項.
(Ⅰ)求數(shù){an}的通項公式;
(Ⅱ)求數(shù)列{$\frac{2}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n項和Tn

分析 (Ⅰ)n=1時,可求得a1=1;依題意,4Sn=(an+1)2,n≥2時,4Sn-1=(an-1+1)2,二式相減,可得an-an-1=2,從而可求數(shù){an}的通項公式;
(Ⅱ)利用裂項法可求得$\frac{2}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$,于是可求數(shù)列{$\frac{2}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n項和Tn

解答 解:(Ⅰ)n=1時,a1=1--------(1分)
n≥2時,4Sn-1=(an-1+1)2,
又4Sn=(an+1)2,
兩式相減得:(an+an-1)(an-an-1-2)=0,
∵an>0,
∴an-an-1=2,
∴數(shù)列{an}是以1為首項,2為公差的等差數(shù)列,即an=2n-1.--------(6分)
(Ⅱ)$\frac{2}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{(2n-1)(2n+1)}$=$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$,
Tn=(1-$\frac{1}{3}$)+($\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$)+…+($\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$)=1-$\frac{1}{2n+1}$=$\frac{2n}{2n+1}$.--(12分)

點評 本題考查數(shù)列的求和,考查數(shù)列的遞推式與裂項法求和的應(yīng)用,求得數(shù)列{an}的通項公式an=2n-1是解決問題的關(guān)鍵,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

19.已知函數(shù)f(x)=$\frac{{a{x^2}+bx+c}}{e^x}$(a>0)的導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的兩個零點為0和3.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)若函數(shù)f(x)的極大值為$\frac{10}{e^3}$,求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,5]上的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

20.若直線ax+2by-2=0(a>0,b>0),始終平分圓x2+y2-4x-2y-8=0的長,則$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$的最值為3+2$\sqrt{2}$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

17.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若b2tanA=a2tanB,則△ABC的形狀是( 。
A.直角三角形B.等腰三角形
C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

4.已知a=2${\;}^{-\frac{3}{2}}}$,b=($\frac{2}{5}$)3,c=($\frac{1}{2}$)3,則a,b,c的大小順序正確的是( 。
A.c>a>bB.a>b>cC.b>a>cD.a>c>b

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

2.f(x)是定義在R上的奇函數(shù),對任意x∈R總有f(x+$\frac{3}{2}$)=-f(x),則f(-$\frac{3}{2}$)的值為( 。
A.0B.3C.$\frac{3}{2}$D.-$\frac{3}{2}$

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

9.下列四個條件中,p是q的必要不充分件的是( 。
A.p:a>b,q:a2>b2
B.p:a>b,q:2a>2b
C.p:非零向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$夾角為銳角,q:$\overrightarrow{a}•\overrightarrow>0$
D.p:ax2+bx+c>0,q:$\frac{c}{{x}^{2}}$-$\frac{x}$+a>0

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

6.冪函數(shù)f(x)=(m2-2m-2)x2-m在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減,則實數(shù)m的值是3.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

7.已知矩陣$A=[{\begin{array}{l}1&a\\ b&2\end{array}}]$,屬于特征值4的一個特征向量為$[{\begin{array}{l}2\\ 3\end{array}}]$,求A2

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案