設(shè)數(shù)列的前項和為,且方程有一個根為,.
(1)證明:數(shù)列是等差數(shù)列;
(2)設(shè)方程的另一個根為,數(shù)列的前項和為,求的值;
(3)是否存在不同的正整數(shù),使得,,成等比數(shù)列,若存在,求出滿足條件的,若不存在,請說明理由.
(1)利用等差數(shù)列的定義證明即可,(2),(3)存在不同的正整數(shù),使得,,成等比數(shù)列
解析試題分析:(1)∵是方程的根,
∴
當時,,∴,
解得,∴ 2分
當時,,∴
化簡得,∴,∴,
∴,又 5分
∴數(shù)列是以為首項,為公差的等差數(shù)列 6分
(2)由(1)得,
∴,帶入方程得,,∴,
∴原方程為,∴,∴ 8分
∴ ①
②
① — ②得
11分
,∴ 12分
(3)由(1)得,,假設(shè)存在不同的正整數(shù),使得,,成等比數(shù)列,則
即,∵ 14分
∴,化簡得,
∴,又∵,且
∴∴,∴ 16分
∴存在不同的正整數(shù),使得,,成等比數(shù)列
考點:本題考查了數(shù)列的通項與求和
點評:數(shù)列的通項公式及應用是數(shù)列的重點內(nèi)容,數(shù)列的大題對邏輯推理能力有較高的要求,在數(shù)列中突出考查學生的理性思維,這是近幾年新課標高考對數(shù)列考查的一個亮點,也是一種趨勢.隨著新課標實施的深入,高考關(guān)注的重點為等差、等比數(shù)列的通項公式,錯位相減法、裂項相消法等求數(shù)列的前n項的和等等
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知數(shù)列的首項,且()
①設(shè),求證:數(shù)列為等差數(shù)列;②設(shè),求數(shù)列的前項和。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
對于無窮數(shù)列和函數(shù),若,則稱是數(shù)列的母函數(shù).
(Ⅰ)定義在上的函數(shù)滿足:對任意,都有,且;又數(shù)列滿足:.
求證:(1)是數(shù)列的母函數(shù);
(2)求數(shù)列的前項和.
(Ⅱ)已知是數(shù)列的母函數(shù),且.若數(shù)列的前項和為,求證:.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知正項數(shù)列的前項和為,且 .
(1)求的值及數(shù)列的通項公式;
(2)求證:;
(3)是否存在非零整數(shù),使不等式
對一切都成立?若存在,求出的值;若不存在,說明理由.
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已知是單調(diào)遞增的等差數(shù)列,首項,前項和為,數(shù)列是等比數(shù)列,首項
(1)求和的通項公式.
(2)設(shè),數(shù)列的前項和為,求證:.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(本題滿分12分)
已知數(shù)列的通項公式為,數(shù)列的前n項和為,且滿足
(1)求的通項公式;
(2)在中是否存在使得是中的項,若存在,請寫出滿足題意的一項(不要求寫出所有的項);若不存在,請說明理由.
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