Question

5．曲線y=1+$\sqrt{4-{x^2}}$（|x|≤2）與直線y=k（x-2）+4只有一個公共點時，實數(shù)k的取值范圍是$k=\frac{5}{12}或k＞\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 曲線表示一個半圓，直線經(jīng)過定點A（2，4）．由圓心到直線的距離等于半徑求得k的值，求出當直線經(jīng)過點（-2，1），（2，1）時，實數(shù)k的取值，即可求得實數(shù)k的取值范圍．

解答 解：曲線y=1+$\sqrt{4-{x^2}}$（|x|≤2）即 x²+（y-1）²=4，表示以C（0，1）為圓心、半徑r=2的半圓（圓位于直線y=1的上方（含直線y=1））．
y=k（x-2）+4，經(jīng)過定點A（2，4）．
由圓心到直線的距離等于半徑可得$\frac{|2k-3|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=2，求得k=$\frac{5}{12}$，
當直線經(jīng)過點（-2，1）時，直線的斜率為$\frac{4-1}{2-（-2）}$=$\frac{3}{4}$，
當直線經(jīng)過點（2，1）時，直線的斜率為不存在
綜上所述，實數(shù)k的取值范圍：$k=\frac{5}{12}或k＞\frac{3}{4}$．
故答案為：$k=\frac{5}{12}或k＞\frac{3}{4}$

點評 本題主要考查直線和圓的位置關系，點到直線的距離公式的應用，體現(xiàn)了數(shù)形結合、轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于中檔題．