Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx滿足f（2）=0，且方程f（x）=x有等根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的值域；
（3）是否存在實(shí)數(shù)m、n（m＜n），使f（x）的定義域和值域分別為[m，n]和[4m，4n]．若存在，求出m、n的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值域,函數(shù)的定義域及其求法,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)f（2）=0得4a+2b=0，根據(jù)f（x）=x有等根可求出b=1，這樣即可解出a，從而求出f（x）=-

1

2

x2+x；
（2）對(duì)f（x）進(jìn)行配方即可求出f（x）的值域；
（3）根據(jù)題意知，對(duì)于函數(shù)y=4x，它的定義域若是[m，n]，值域便是[4m，4n]，所以求函數(shù)y=4x圖象和函數(shù)f（x）的圖象的交點(diǎn)，若有兩個(gè)交點(diǎn)，便符合已知條件，若沒有交點(diǎn)或只一個(gè)交點(diǎn)，便不存在已知條件中的m，n，所以解方程組

y=- 1 2 x2+x y=4x

即得答案．

解答： 解：（1）由f（2）=0得：4a+2b=0   ①；
由f（x）=x得：ax²+bx=x，∴x（ax+b-1）=0，∵該方程有等根，∴等根為0，∴0+b-1=0，∴b=1，將b=1帶入①得：a=-

1

2

；
∴f(x)=-

1

2

x2+x；
（2）f(x)=-

1

2

x2+x=-

1

2

(x-1)2+

1

2

≤

1

2

，∴f（x）的值域?yàn)椋?∞，

1

2

]；
（3）令y=f（x），解

y=- 1 2 x2+x y=4x

得x=0，y=0或x=-6，y=-24；
∴存在m=-6，n=0，使f（x）的定義域和值域分別為[m，n]，[4m，4n]．

點(diǎn)評(píng)：考查求函數(shù)解析式，及等根的概念，用配方法求二次函數(shù)的值域，判斷求f（x）的定義域，值域分別為[m，n]，[4m，4n]，即判斷f（x）和y=4x圖象有兩個(gè)以上交點(diǎn)．