Question

（Ⅰ）寫出兩角差的余弦公式cos（α-β）=

 

，并加以證明；
（Ⅱ）并由此推導(dǎo)兩角差的正弦公式sin（α-β）=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),兩角和與差的余弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）兩角差的余弦公式cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，建立平面直角坐標(biāo)系，利用兩個(gè)向量的夾角公式，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，進(jìn)行證明．
（Ⅱ）sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ．證明：把公式cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ中的α換成α-

π

2

，利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可得結(jié)果．

解答： 解：（Ⅰ）兩角差的余弦公式cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ．
在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，以原點(diǎn)O為圓心作單位圓O，以O(shè)x為始邊，作角α，β，
設(shè)其終邊與單位圓的交點(diǎn)分別為A，B，則向量

OA

=（cosα，sinα）向量

OB

=（cosβ，sinβ），
記兩向量的夾角＜

OA

，

OB

＞=θ為，則cosθ=

OA • OB

| OA |•| OB |

=

(cosα，sinα)•(cosβ，sinβ)

1×1

=cosαcosβ+sinαsinβ．
（1）如果α-β∈[0，π]，那么α-β=θ，∴cos（α-β）=cosθ，∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ．
（2）如果α-β∉[0，π]，如圖，不妨設(shè)α=2kπ+β+θ，k∈Z，
所以有cos（α-β）=cos（2kπ+θ）=cosθ，同樣有cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ．
故答案為：cosαcosβ+sinαsinβ．
（Ⅱ）sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ，
證明如下：把公式cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ中的α換成α-

π

2

，
可得cos[（α-

π

2

）-β]=cos（α-

π

2

）cosβ+sin（α-

π

2

）sinβ=cos（

π

2

-α）cosβ-sin（

π

2

-α）sinβ=sinαcosβ-cosαsinβ，
即cos[（α-β）-

π

2

]=sinαcosβ-cosαsinβ，即sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ，
故答案為：sinαcosβ-cosαsinβ．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量的夾角公式，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式、誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．