Question

已知函數(shù)f（x）=|x+2|+|x-1|．
（1）解不等式f（x）≤-x²+4；
（2）當(dāng)f（x）≥|a-1|對(duì)任意x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法,函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）把原不等式去掉絕對(duì)值，轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的三個(gè)不等式組，分別求得每個(gè)不等式組的解集，再取并集，即得所求．
（2）由絕對(duì)值的意義可得f（x）=|x+2|+|x-1|的最小值為3，結(jié)合題意可得3≥|a-1|，由此求得即a的范圍．

解答： 解：（1）解不等式f（x）≤-x²+4，即|x+2|+|x-1|≤-x²+4，等價(jià)于
①

x＜-2 -x-2+1-x≤-x2+4

，或②

-2≤x＜1 x+2+1-x≤-x2+4

，或③

x≥1 x+2+x-1≤-x2+4

．
解①求得 x∈∅，解②求得-1≤x≤1，解③求x=1，
綜上可得，不等式的解集為[-1，1]．
（2）由題意可得f（x）的最小值大于或等于|a-1|，而由絕對(duì)值的意義可得f（x）=|x+2|+|x-1|的最小值為3，
∴3≥|a-1|，即-3≤a-1≤3，
求得-2≤a≤4，
即a的范圍是[-2，4]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值的意義，絕對(duì)值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．