Question

12．已知△ABC中，AB=10，AC=6，BC=8，點M為邊AB上任意一點，則$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CB}$的取值范圍是（　�。�

• A． [0，100]
• B． [36，64]
• C． （36，100）
• D． [6，10]

Answer 1

分析 根據(jù)已知條件判斷出△ABC為Rt△，然后以點C為坐標(biāo)原點，射線CA，CB分別為x，y軸正方向建立直角坐標(biāo)系，設(shè)$\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CA}+λ\overrightarrow{AB}$，把$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CB}$轉(zhuǎn)化為含有λ的代數(shù)式，由λ的范圍可得$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{CM}•（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}）$的取值范圍．

解答 解：∵AC=6，BC=8，AB=10，∴AC²+BC²=AB²，即△ABC為直角三角形．
以點C為坐標(biāo)原點，射線CA，CB分別為x，y軸正方向建立直角坐標(biāo)系，
則A（6，0），B（0，8）．
設(shè)$\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CA}+λ\overrightarrow{AB}$=（6，0）+λ（-6，8）=（6-6λ，8λ）．
其中0≤λ≤1，$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{CM}•（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}）$=（6-6λ，8λ）•（6，8）=36+28λ．
∵0≤λ≤1，∴36≤$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CB}$≤64．
故選：B．

點評 本題考查直角三角形邊的關(guān)系，以及向量減法的幾何意義，向量數(shù)量積的計算公式，三角函數(shù)的定義，以及數(shù)形結(jié)合解題的方法，是中檔題．