Question

19．已知函數(shù)：f（x）=-x³-3x²+（1+a）x+b（a＜0，b∈R）．
（1）令h（x）=f（x-1）-b+a+3，判斷h（x）的奇偶性，并討論h（x）的單調(diào)性；
（2）若g（x）=|f（x）|，設(shè)M（a，b）為g（x）在[-2，0]的最大值，求M（a，b）的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知求也函數(shù)h（x）的解析式，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義，可判斷函數(shù)的奇偶性，求導(dǎo)，可分析出h（x）的單調(diào)性；
（2）若g（x）=|f（x）|，則f（t-1）=t³-（a+4）t+a-b+3，t∈[-1，1]，令h（t）=t³-（a+4）t+a-b+3，t∈[-1，1]，結(jié)合導(dǎo)數(shù)法分類討論，可得M（a，b）的最小值．

解答 解：（1）h（x）=-（x-1）³-3（x-1）²+（1+a）x+2，
h（-x）=（x+1）³-3（x+1）²-x（a+1）+2，
故h（x）是非奇非偶函數(shù)；
h′（x）=-3x²+a+4，
a+4≤0即a≤-4時(shí)，h′（x）≤0，
h（x）在R遞減；
a+4＞0即a＞-4時(shí)，
令h′（x）＞0，解得：-$\frac{\sqrt{3（a+4）}}{3}$＜x＜$\frac{\sqrt{3（a+4）}}{3}$，
令h′（x）＜0，解得：x＜-$\frac{\sqrt{3（a+4）}}{3}$或x＞$\frac{\sqrt{3（a+4）}}{3}$，
故h（x）在（-∞，-$\frac{\sqrt{3（a+4）}}{3}$）遞減，在（-$\frac{\sqrt{3（a+4）}}{3}$，$\frac{\sqrt{3（a+4）}}{3}$）遞增，
在（$\frac{\sqrt{3（a+4）}}{3}$，+∞）遞減；
（2）g（x）=|f（x）|=|x³+3x²-（1+a）x-b|，（a＜0），
則f（t-1）=t³-（a+4）t+a-b+3，t∈[-1，1]，
令h（t）=t³-（a+4）t+a-b+3，t∈[-1，1]，
則h′（t）=3t²-（a+4），t∈[-1，1]，
①當(dāng)a≤-4時(shí)，h′（t）≥0恒成立，
此時(shí)函數(shù)為增函數(shù)，
則M（a，b）=max{|h（-1）|，|h（1）|}=max{|2a-b+6|，|b|}
②當(dāng)-4＜a＜0時(shí)，h（t）有兩個(gè)極值點(diǎn)t₁，t₂，不妨設(shè)t₁＜t₂，
（i）當(dāng)-1≤a＜0時(shí)，t₁=-$\sqrt{\frac{a+4}{3}}$≤-1，t₂=$\sqrt{\frac{a+4}{3}}$≥1，
此時(shí)函數(shù)為減函數(shù)，
則M（a，b）=max{|h（-1）|，|h（1）|}=max{|2a-b+6|，|b|}
（ii）當(dāng)-4＜a＜-1時(shí)，t₁=-$\sqrt{\frac{a+4}{3}}$＞-1，t₂=$\sqrt{\frac{a+4}{3}}$＜1，
此時(shí)函數(shù)在[-1，t₁]上遞增，在[t₁，t₂]上遞減，在[t₂，1]上遞增，
則M（a，b）=max{|2a-b+6|，|b|，|2（$\sqrt{\frac{a+4}{3}}$）³+a-b+3|，|-2（$\sqrt{\frac{a+4}{3}}$）³+a-b+3|}
則M（a，b）≥min{|a+3|，2（$\sqrt{\frac{a+4}{3}}$）³}，
由|a+3|=2（$\sqrt{\frac{a+4}{3}}$）³得：a=-1，或a=-$\frac{13}{4}$，
當(dāng)a=-1時(shí)，M（a，b）≥2，
當(dāng)a=-$\frac{13}{4}$時(shí)，M（a，b）≥$\frac{1}{4}$，
故當(dāng)a=-$\frac{13}{4}$，b=-$\frac{1}{4}$時(shí)，M（a，b）的最小值為$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，難度較大．