Question

10．已知平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁所有棱長均為1，∠BAD=∠BAA₁=∠DAA₁=60°，則AC₁的長為$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 由已知得$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{C{C}_{1}}$，由此利用向量法能求出AC₁的長．

解答 解：∵平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁所有棱長均為1，∠BAD=∠BAA₁=∠DAA₁=60°，
∴$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{C{C}_{1}}$，
∴$\overrightarrow{A{C}_{1}}$²=（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{C{C}_{1}}$）²
=${\overrightarrow{AB}}^{2}+{\overrightarrow{BC}}^{2}+{\overrightarrow{C{C}_{1}}}^{2}$+2|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{BC}$|cos60°+2$|\overrightarrow{AB}|$•|$\overrightarrow{C{C}_{1}}$|cos60°+2$|\overrightarrow{BC}|•|\overrightarrow{C{C}_{1}}|$•cos60°
=1+1+1+$2×1×1×\frac{1}{2}$+$2×1×1×\frac{1}{2}$+$2×1×1×\frac{1}{2}$
=6，
∴AC₁的長為|$\overrightarrow{A{C}_{1}}$|=$\sqrt{6}$．
故答案為：$\sqrt{6}$．

點評 本題考查線段長的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．