Question

1．若x＞1，證明：lnx＞$\frac{2（x-1）}{x+1}$．

Answer 1

分析 設(shè)f（x）=lnx-$\frac{2（x-1）}{x+1}$，x＞1，求出導(dǎo)數(shù)，判斷符號(hào)，可得單調(diào)性，再由單調(diào)性即可得證．

解答 證明：設(shè)f（x）=lnx-$\frac{2（x-1）}{x+1}$，x＞1，
導(dǎo)數(shù)f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{4}{（x+1）^{2}}$=$\frac{（x+1）^{2}-4x}{x（x+1）^{2}}$
=$\frac{（x-1）^{2}}{x（x+1）^{2}}$，
當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增，
即有f（x）＞f（1）=0，
可得lnx＞$\frac{2（x-1）}{x+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，注意運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．