Question

已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，數(shù)列的前n項(xiàng)和，，

（1）求，的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)，是否存在正整數(shù),使得對(duì)恒成立？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）①，，   ，。

（2）存在正整數(shù)3，使得對(duì)恒成立。

【解析】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的和對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，特別是問(wèn)題（2）的設(shè)置有新意，關(guān)鍵是恒等式的解題方法（對(duì)應(yīng)系數(shù)相等）是解題的關(guān)鍵，屬中檔題．

（1）根據(jù)前n項(xiàng)和與通項(xiàng)公式的關(guān)系可知

①時(shí)，；；綜上，，

②由，，（）兩式相減得

即，；由得，

∴是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，，得到結(jié)論。

（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012102512005195318211/SYS201210251201527968322483_DA.files/image017.png">，那么利用定義判定單調(diào)性，進(jìn)而得到最值。

解：（1）①時(shí)，；；綜上，，

   ②由，，（）兩式相減得

即，；由得，

∴是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，，。

（2），

∴時(shí)，， ，即；

時(shí)，，，即

∴的最大項(xiàng)為，即存在正整數(shù)3，使得對(duì)恒成立。