Question

18．已知直線l：x-2y+m=0上存在點M滿足與兩點A（-2，0），B（2，0）連線的斜率k_MA與k_MB之積為-1，則實數(shù)m的取值范圍是[-2$\sqrt{5}$，2$\sqrt{5}$]．

Answer 1

分析 設(shè)出M的坐標(biāo)，由k_MA與k_MB之積為3得到M坐標(biāo)的方程，和已知直線方程聯(lián)立，化為關(guān)于x的一元二次方程后由判別式大于等于0求得實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：設(shè)M（x，y），由k_MA•k_MB=3，得$\frac{y}{x+2}$•$\frac{y}{x-2}$=-1，即x²+y²=4．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}x-2y+m=0\\{x}^{2}+{y}^{2}=4\end{array}\right.$，得5y²-4my+m²-4=0．
要使直線l：x-2y+m=0上存在點M滿足與兩點A（-2，0），B（2，0）連線的斜率k_MA與k_MB之積為-1，
則△=（4m）²-20（m²-4）≥0，即m²≤20．
解得m∈[-2$\sqrt{5}$，2$\sqrt{5}$]．
∴實數(shù)m的取值范圍是：[-2$\sqrt{5}$，2$\sqrt{5}$]．
故答案為：[-2$\sqrt{5}$，2$\sqrt{5}$]．

點評 本題考查軌跡方程的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了利用判別式法判斷方程的根，是中檔題．