Question

7．已知x，y為正實(shí)數(shù)，令a=x+y，b=$\sqrt{{x}^{2}+xy+{y}^{2}}$，c=m$\sqrt{xy}$，若存在正實(shí)數(shù)m，使得對任意的x，y，均能以a，b，c為三邊構(gòu)成一個(gè)三角形，則正實(shí)數(shù)m的取值范圍是（2-$\sqrt{3}$，2+$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 x，y為正實(shí)數(shù)，a²-b²=xy＞0，可得：a＞b．由于存在正實(shí)數(shù)m，使得對任意的x，y，均能以a，b，c為三邊構(gòu)成一個(gè)三角形，可得$\left\{\begin{array}{l}{a+b＞c}\\{a-b＜c}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x+y+\sqrt{{x}^{2}+xy+{y}^{2}}＞m\sqrt{xy}}&{①}\\{x+y-\sqrt{{x}^{2}+xy+{y}^{2}}＜m\sqrt{xy}}&{②}\end{array}\right.$，變形轉(zhuǎn)化，利用基本不等式的性質(zhì)與函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：∵x，y為正實(shí)數(shù)，a²-b²=xy＞0，∴a＞b．
∵存在正實(shí)數(shù)m，使得對任意的x，y，均能以a，b，c為三邊構(gòu)成一個(gè)三角形，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b＞c}\\{a-b＜c}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x+y+\sqrt{{x}^{2}+xy+{y}^{2}}＞m\sqrt{xy}}&{①}\\{x+y-\sqrt{{x}^{2}+xy+{y}^{2}}＜m\sqrt{xy}}&{②}\end{array}\right.$，
令$\frac{x}{y}$=t，由①化為：f（t）=$\sqrt{t}$+$\frac{1}{\sqrt{t}}$+$\sqrt{t+\frac{1}{t}+1}$＞m，∴f（t）≥2+$\sqrt{3}$，當(dāng)且僅當(dāng)t=1時(shí)取等號(hào)，∴m$＜2+\sqrt{3}$．
由②化為：g（t）=$\sqrt{t}$+$\frac{1}{\sqrt{t}}$-$\sqrt{t+\frac{1}{t}+1}$＜m，令$\sqrt{t}+\frac{1}{\sqrt{t}}$=k≥2，則g（t）=k-$\sqrt{{k}^{2}-1}$=u（k）=$\frac{1}{k+\sqrt{{k}^{2}-1}}$，在k∈[2，+∞）上單調(diào)遞減，
∴u（k）_max=u（2）=2-$\sqrt{3}$＜m．
綜上可得m的取值范圍是：2-$\sqrt{3}$＜m$＜2+\sqrt{3}$．
故答案為：（2-$\sqrt{3}$，2+$\sqrt{3}$）．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式的性質(zhì)、組成三角形的條件，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．