Question

9．設(shè)函數(shù)f（x）=mx²-mx-2．
（1）若對于一切實(shí)數(shù)x，f（x）＜0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若對于x∈[1，3]，f（x）＜-m+5恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）分類討論，結(jié)合根的判別式，即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若對于x∈[1，3]，f（x）＜-m+5恒成立，分離參數(shù)，求最值，即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）由已知，mx²-mx-2＜0對于一切實(shí)數(shù)x恒成立，
當(dāng)m=0時(shí)，-2＜0恒成立
當(dāng)m≠0時(shí)，只需$\left\{\begin{array}{l}m＜0\\△={m^2}+8m＜0\end{array}\right.$，解得-8＜m＜0．
故m的取值范圍是（-8，0]…（4分）
（2）由已知，mx²-mx-2＜-m+5對x∈[1，3]恒成立
即m（x²-x+1）＜7對x∈[1，3]恒成立
∵${x^2}-x+1={（x-\frac{1}{2}）^2}+\frac{3}{4}＞0$，∴$m＜\frac{7}{{{x^2}-x+1}}$對x∈[1，3]恒成立．
令g（x）=x²-x+1，則只需$m＜\frac{7}{g（x）}$在x∈[1，3]上的最小值     …（8分）
而g（x）在x∈[1，3]上是單調(diào)遞增函數(shù)，
∴g（x）∈[1，7]，∴$\frac{7}{g（x）}∈[1，7]$，∴m＜1．
故，m的取值范圍是（-∞，1）…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查恒成立問題，考查分離參數(shù)方法的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．