Question

18．已知數(shù)列{a_n}前n項和滿足S_n-S_n-1=$\sqrt{S_n}+\sqrt{{S_{n-1}}}$（n≥2），a₁=1，則a_n=2n-1．

Answer 1

分析 利用平方差公式對題設(shè)中的等式化簡整理求得$\sqrt{{S}_{n}}$-$\sqrt{{S}_{n-1}}$=1，進而根據(jù)等差數(shù)列的定義判斷出數(shù)列{$\sqrt{{S}_{n}}$}是一個首項為1公差為1的等差數(shù)列．進而根據(jù)首項和公差求得數(shù)列{$\sqrt{{S}_{n}}$}的通項公式，進而根據(jù)a_n=S_n-S_n-1求得a

解答 解：S_n-S_n-1=（$\sqrt{S_n}+\sqrt{{S_{n-1}}}$）（$\sqrt{{S}_{n}}$-$\sqrt{{S}_{n-1}}$）=$\sqrt{S_n}+\sqrt{{S_{n-1}}}$（n≥2），
∴$\sqrt{{S}_{n}}$-$\sqrt{{S}_{n-1}}$=1
∴數(shù)列{$\sqrt{{S}_{n}}$}是一個首項為1公差為1的等差數(shù)列．
∴$\sqrt{{S}_{n}}$=1+（n-1）×1=n，
∴S_n=n²．
當n≥2，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1；
a₁=1適合上式，
∴a_n=2n-1，
故答案為：2n-1

點評 本題主要考查了等差關(guān)系的確定和遞推公式，屬于中檔題．