Question

【題目】在某學校組織的一次智力競賽中，比賽共分為兩個環(huán)節(jié)，其中第一環(huán)節(jié)競賽題有A、B兩組題，每個選手最多有3次答題機會，答對一道A組題得20分，答對一道B組題得30分．選手可以任意選擇答題的順序，如果前兩次得分之和超過30分即停止答題，進入下一環(huán)節(jié)比賽，否則答3次．某同學正確回答A組題的概率都是p，正確回答B(yǎng)組題的概率都是 ，且回答正確與否相互之間沒有影響．該同學選擇先答一道B組題，然后都答A組題．已知第一環(huán)節(jié)比賽結束時該同學得分超過30分的概率為 ．
（1）求p的值；
（2）用ξ表示第一環(huán)節(jié)比賽結束后該同學的總得分，求隨機變量ξ的數(shù)學期望；
（3）試比較該同學選擇都回答A組題與選擇上述方式答題，能進入下一環(huán)節(jié)競賽的概率的大�。�

Answer 1

【答案】
（1）解：設事件A為“該同學答對一道A組題”，事件B為“該同學答對一道B組題”，且事件A，B相互獨立，

P（A）=p，P（ ）=1﹣p，P（B）= ，P（ ）= ，

由題意，得：P（ ）=P（ ）+P（B ）+P（BA）= ，

∴ = ，即9p2+9p﹣10=0，

解得p= 或p=﹣ （舍），

∴p= ．

（2）解：依題意ξ的可能取值為0，20，30，40，50．

P（ξ=0）= = = ，

P（ξ=20）= = ，

P（ξ=30）=P（B ）= = ，

P（ξ=40）= = = ，

P（ξ=50）=P（ ）= = ，

ξ的分布列為：

ξ	0	20	30	40	50
P

E（ξ）= = ．

（3）解：設事伯C為“該同學選擇都回答A組且得分超過30分”，

則P（C）=P（ ）=2× +（ ）2= ，

由已知得該同學先回答B(yǎng)組題接著都回答A組題得分大于30分的概率為 ，

∵ ，∴該同學都回答A組題能進入下一環(huán)節(jié)競賽的概率較大

【解析】（1）設事件A為“該同學答對一道A組題”，事件B為“該同學答對一道B組題”，且事件A，B相互獨立，由題意，得：P（ ）=P（ ）+P（B ）+P（BA）= ，由此能求出p．（2）依題意ξ的可能取值為0，20，30，40，50．分別求出相應的概率，由此能求出隨機變量ξ的數(shù)學期望．（3）設事伯C為“該同學選擇都回答A組且得分超過30分”，求出P（C）；該同學先回答B(yǎng)組題接著都回答A組題得分大于30分的概率為 ，從而得到該同學都回答A組題能進入下一環(huán)節(jié)競賽的概率較大．