Question

1．已知曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，曲線C₂的極坐標(biāo)方程ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$．
（1）將曲線C₁和C₂化為普通方程；
（2）設(shè)C₁和C₂的交點分別為A，B，求線段AB的中垂線的參數(shù)方程．

Answer 1

分析 （1）曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，利用cos²θ+sin²θ=1即可化為普通方程；曲線C₂的極坐標(biāo)方程ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，展開為$\frac{\sqrt{2}}{2}（ρcosθ+ρsinθ）$=$\sqrt{2}$，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$可得直角坐標(biāo)方程．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點M（x₀，y₀）．直線方程與橢圓方程聯(lián)立化為：5x²-16x+12=0，利用x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，y₀=2-x₀，可得M坐標(biāo)．由直線AB的斜率為1，可得線段AB的中垂線的斜率為-1，傾斜角為135°．即可得出參數(shù)方程．

解答 解：（1）曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，化為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
曲線C₂的極坐標(biāo)方程ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，展開為$\frac{\sqrt{2}}{2}（ρcosθ+ρsinθ）$=$\sqrt{2}$，可得直角坐標(biāo)方程：x+y-2=0．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點M（x₀，y₀）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2=0}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化為：5x²-16x+12=0，
∴x₁+x₂=$\frac{16}{5}$，
∴x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{8}{5}$，y₀=2-x₀=$\frac{2}{5}$．
由直線AB的斜率為1，可得線段AB的中垂線的斜率為-1，傾斜角為135°．
可得線段AB的中垂線的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{8}{5}-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{2}{5}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．

點評 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程、中點坐標(biāo)公式、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．