已知數(shù)列{an}滿足a1=1，
an+1-an
an
=n，n∈N*，設數(shù)列{
n
an+1
}的前n項和為Sn，則Sn的取值范圍是（　�。�
A、（0，1）
B、[
1
2
，1）
C、[
1
2
，+∞）
D、（1，+∞）
考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式
專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析：由
an+1-an
an
=n，n∈N*，可得an+1=（n+1）an，
an+1
an
=n+1．利用“累乘求積”可得an=n!．可得
n
an+1
=
n
(n+1)!
=
1
n!
-
1
(n+1)!
，利用“裂項求和”即可得出．
解答： 解：∵
an+1-an
an
=n，n∈N*，
∴an+1=（n+1）an，
∵a1=1，
∴a2=2，
an+1
an
=n+1．
∴an=
an
an-1
•
an-1
an-2
•…•
a2
a1
•a1=n!．
∴
n
an+1
=
n
(n+1)!
=
1
n!
-
1
(n+1)!
，
∴Sn=
1
a2
+
2
a3
+…+
n
an+1

=
1
2!
+
2
3!
+
3
4!
+…+
n
(n+1)!
＜(
1
1！
-
1
2！
)+(
1
2！
-
1
3！
)+…+(
1
n！
-
1
(n+1)!
)=1-
1
(n+1)!
＜1．
又數(shù)列{
n
an+1
}的前n項和為Sn≥
1
a2
=
1
2
．
1
2
≤Sn＜1．
故選：B．
點評：本題考查了“累乘求積”、“裂項求和”、放縮法、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知點A（1，-2），B（5，6）到直線l：ax+y+1=0的距離相等，則實數(shù)a的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

參數(shù)方程
x=
1-t2
1+t2
y=
2t
1+t2
（t為參數(shù)）化為普通方程為（　�。�
A、x2+y2=1
B、x2+y2=1  去掉（0，1）點
C、x2+y2=1  去掉（1，0）點
D、x2+y2=1  去掉（-1，0）點

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若圓C過點（0，1）且與直線l：y=-1相切，設圓心C的軌跡為曲線E．
（Ⅰ）求曲線E的方程；
（Ⅱ）記F（0，1），是否存在正數(shù)m，對于過點M（0，M）且與曲線E有兩個交點A、B的任一直線，都有
FA
•
FB
＜0，若存在，求出m的取值范圍，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

分析法是從要證的不等式出發(fā)，尋求使它成立的
 
（填序號）
①充分條件；②必要條件；③充要條件．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知x＞0，y＞0，且x+y+xy=2，則xy的最大值為（　　）
A、1+
3
B、
3
-1
C、4-2
3
D、4+2
3

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知集合A={x|4≤x＜8}，B={x|1＜x＜6}，C={x|a-3＜x≤a+2}
（1）求A∪B；
（2）求（CRA）∩B；
（3）若A∩C=∅，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

為了得到函數(shù)y=4sin（2x+
π
3
），x∈R的圖象，只需把函數(shù)y=4sinx，x∈R的圖象上所有的點（　�。�
A、把各點的橫坐標縮短到原來的
1
2
倍，再向左平移
π
6
個單位長度
B、把各點的橫坐標縮短到原來的
1
2
倍，再向左平移
π
3
個單位長度
C、把各點的橫坐標伸長到原來的2倍，再向左平移
π
6
個單位長度
D、把各點的橫坐標伸長到原來的2倍，再向左平移
π
3
個單位長度

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，21，…最初是由意大利數(shù)學家斐波拉契于1202年研究兔子繁殖問題中提出來的，稱之為斐波拉契數(shù)列．又稱黃金分割數(shù)列．后來發(fā)現(xiàn)很多自然現(xiàn)象都符合這個數(shù)列的規(guī)律．某校數(shù)學興
趣小組對該數(shù)列探究后，類比該數(shù)列各項產(chǎn)生的辦法，得到數(shù)列{an}：1，2，1，6，9，10，17，…，設數(shù)
列{an}的前n項和為Sn．
（1）請計算a1+a2+a3，a2+a3+a4，a3+a4+a5．并依此規(guī)律求數(shù)列{an}的第n項an=
 
．
（2）S3n+1=
 
．（請用關于n的多項式表示，其中12+22+32+…+n2=
n(n+1)(2n+1)
6
）

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