Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，

an+1-an

an

=n，n∈N^*，設(shè)數(shù)列{

n

an+1

}的前n項(xiàng)和為S_n，則S_n的取值范圍是（　　）

• A、（0，1）
• B、[

  1

  2

  ，1）
• C、[

  1

  2

  ，+∞）
• D、（1，+∞）

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由

an+1-an

an

=n，n∈N^*，可得a_n+1=（n+1）a_n，

an+1

an

=n+1．利用“累乘求積”可得a_n=n!．可得

n

an+1

=

n

(n+1)!

=

1

n!

-

1

(n+1)!

，利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答： 解：∵

an+1-an

an

=n，n∈N^*，
∴a_n+1=（n+1）a_n，
∵a₁=1，
∴a₂=2，

an+1

an

=n+1．
∴an=

an

an-1

•

an-1

an-2

•…•

a2

a1

•a₁=n!．
∴

n

an+1

=

n

(n+1)!

=

1

n!

-

1

(n+1)!

，
∴S_n=

1

a2

+

2

a3

+…+

n

an+1

=

1

2!

+

2

3!

+

3

4!

+…+

n

(n+1)!

＜(

1

1！

-

1

2！

)+(

1

2！

-

1

3！

)+…+(

1

n！

-

1

(n+1)!

)=1-

1

(n+1)!

＜1．
又?jǐn)?shù)列{

n

an+1

}的前n項(xiàng)和為S_n≥

1

a2

=

1

2

．

1

2

≤Sn＜1．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了“累乘求積”、“裂項(xiàng)求和”、放縮法、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．