Question

設(shè)

m

=（2sinx，

3

cosx），

n

=（asinx，-2asinx）．記函數(shù)f（x）=

m

•

n

+b，已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇0，

π

2

]，值域?yàn)閇-5，4]．求a，b的值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：計(jì)算題,分類討論,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：運(yùn)用平面向量的數(shù)量積公式，利用二倍角公式和兩角和的正弦公式，化簡(jiǎn)f（x）的解析式為-2asin（2x+

π

6

）+a+b，分a＞0和a＜0，根據(jù)函數(shù)的值域分別求出a、b的值．

解答： 解：由于

m

=（2sinx，

3

cosx），

n

=（asinx，-2asinx）．
則函數(shù)f（x）=

m

•

n

+b=2asin²x-2

3

asinxcosx+b
即有f（x）=a（1-cos2x）-

3

sin2x+b
=-a（cos2x+

3

sin2x）+a+b=-2asin（2x+

π

6

）+a+b．
∵x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]．
顯然a=0不合題意．
當(dāng)a＞0時(shí)，值域?yàn)閇b-a，b+2a]，即

b-a=-5 b+2a=4

，解得

a=3 b=-2

；
當(dāng)a＜0時(shí)，值域?yàn)閇b+2a，b-a]，即

b-a=4 b+2a=-5

，解得

a=-3 b=1

． 
綜上可得，a=3，b=-2或a=-3，b=1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦函數(shù)的定義域和值域，三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，求出a、b的值，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．