Question

已知拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F作一條直線l與拋物線交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)
（Ⅰ）求以點(diǎn)F為圓心，且與直線y=x相切的圓的方程
（Ⅱ）從x₁，x₂，|y₁|，|y₂|，1，2中取出三個量，使其構(gòu)成等比數(shù)列，并予以證明．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）明確拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線的距離求圓的方程；
（2）設(shè)l 的方程為y=k（x-1），與拋物線方程聯(lián)立方程組，消元后利用根與系數(shù)的關(guān)系可得．

解答： 解：（1）由已知，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（1，0），到直線y=x的距離為r=

2

2

，
所以以點(diǎn)F為圓心，且與直線y=x相切的圓的方程為（x-1）²+y²=

1

2

；
（2）設(shè)l 的方程為y=k（x-1），與拋物線方程聯(lián)立得

y=k(x-1) y2=4x

，所以k²（x-1）²=4x，即k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
所以x₁•x₂=1，
所以x₁，1，x₂構(gòu)成等比數(shù)列．

點(diǎn)評：本題考查了拋物線的性質(zhì)以及直線與拋物線的位置關(guān)系，關(guān)鍵是聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系解答．