Question

9．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱垂直于底面，各棱長均為2，D為線段B₁C₁中點(diǎn)．
（Ⅰ） 證明：AC₁∥平面A₁BD；
（Ⅱ） 求BB₁與平面A₁BD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接AB₁，交A₁B于點(diǎn)F，連接DF，則DF∥AC₁，由此能證明AC₁∥平面A₁BD．
（Ⅱ）解法1：作B₁H⊥BD，垂足為H，推導(dǎo)出A₁D⊥平面BB₁C₁C，從而B₁H⊥A₁D，進(jìn)而∠B₁BH為BB₁與平面A₁BD所成的角，由此能求出BB₁與平面A₁BD所成角的正弦值．
解法2：取AB中點(diǎn)O，連接CO，以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，利用向量法能求出BB₁與平面A₁BD所成角的正弦值．

解答 （本小題滿分12分）
證明：（Ⅰ）連接AB₁，交A₁B于點(diǎn)F，
連接DF，△AB₁C₁中，D，F(xiàn)分別為A₁B，B₁C₁中點(diǎn)，
所以DF∥AC₁．…（2分）
因?yàn)镈F?平面A₁BD，AC₁?平面A₁BD
所以AC₁∥平面A₁BD． …（4分）
解：（Ⅱ）方法1：如圖，作B₁H⊥BD，垂足為H，
因?yàn)锽B₁⊥平面A₁B₁C₁，A₁D?平面A₁B₁C₁，所以A₁D⊥BB₁，
又A₁D⊥B₁C₁，且BB₁∩B₁C₁=B₁，BB₁，B₁C₁?平面BB₁C₁C，
所以A₁D⊥平面BB₁C₁C．…（6分）
因?yàn)锽₁H?平面BB₁C₁C，所以B₁H⊥A₁D，
又B₁H⊥BD，且A₁D∩BD=D，A₁D，BD?平面A₁BD，
所以B₁H⊥平面A₁BD，所以∠B₁BH為BB₁與平面A₁BD所成的角．…（8分）
在Rt△B₁BD中，$sin∠{B_1}BH=\frac{{{B_1}D}}{BD}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．…（11分）
因此BB₁與平面A₁BD所成角的正弦值為$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．…（12分）
方法2：取AB中點(diǎn)O，連接CO．
因?yàn)锳A₁⊥平面ABC，CO?平面ABC，所以CO⊥AA₁．
又因?yàn)镃O⊥AB，且AA₁∩AB=A，AA₁，AB?面A₁ABB₁，所以，CO⊥平面A₁ABB₁．…（6分）
如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz如圖所示，
則A₁（1，2，0），B（-1，0，0），B₁（-1，2，0），$D（{-\frac{1}{2}，2，\sqrt{3}}）$，
所以，$\overrightarrow{B{A_1}}=（{2，2，0}）$，$\overrightarrow{BD}=（{\frac{1}{2}，2，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$，
$\overrightarrow{B{B_1}}=（{0，2，0}）$．…（8分）
設(shè)平面A₁BD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{A}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}2x+2y=0\\ \frac{1}{2}x+2y+\frac{{\sqrt{3}}}{2}z=0\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}y=-x\\ z=\sqrt{3}x\end{array}\right.$，
令x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，$\sqrt{3}$），…（10分）
設(shè)直線BB₁與平面A₁BD所成角大小為θ，
則sinθ=|$cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{B{B}_{1}}＞$|=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{B}_{1}}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{B{B}_{1}}|}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
所以，BB₁與平面A₁BD所成角的正弦值為$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查線面平行的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．