Question

數(shù)列滿足:,(≥3),記

(≥3).

(1)求證數(shù)列為等差數(shù)列,并求通項公式;

(2)設(shè),數(shù)列{}的前n項和為,求證:<<.

 

Answer 1

(1) (2)詳見解析.

【解析】

試題分析：(1)本題實(shí)質(zhì)由和項求通項：

當(dāng)n≥3時,因①, 故②，

②-①,得 bn-1-bn-2===1,為常數(shù)，所以,數(shù)列{bn}為等差數(shù)列因 b1==4,故 (2)本題證明實(shí)質(zhì)是求和，而求和關(guān)鍵在于對開方：因 ，

故 .

所以 ,即 n<Sn

又<,于是. 于是

解 (1)方法一 當(dāng)n≥3時,因①,

故② 2分

②-①,得 bn-1-bn-2===1,為常數(shù),所以,數(shù)列{bn}為等差數(shù)列 5分

因 b1==4,故 8分

方法二 當(dāng)n≥3時,a1a2an=1+an+1, a1a2anan+1=1+an+2, 將上兩式相除并變形,得 ------2分 于是,當(dāng)n∈N*時,

. 5分

又a4=a1a2a3-1=7,故bn=n+3(n∈N*).

所以數(shù)列{bn}為等差數(shù)列,且bn=n+3 8分

(2) 因 , 10分

故 . 12分

所以 ,

即 n<Sn 。 14分

又<,于是. 于是. 16分

考點(diǎn)：等差數(shù)列定義，裂項求和