Question

12．已知函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)M（$\frac{3π}{4}$，0）對(duì)稱，且在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上是單調(diào)函數(shù)，求φ和ω的值．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的奇偶性、誘導(dǎo)公式求得φ的值，再根據(jù)圖象的對(duì)稱性、單調(diào)性求得ω的值．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函數(shù)，
可得φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，故φ=$\frac{π}{2}$，f（x）=2cosωx．
其圖象關(guān)于點(diǎn)M（$\frac{3π}{4}$，0）對(duì)稱，可得ω•$\frac{3π}{4}$=nπ+$\frac{π}{2}$，n∈Z，∴ω=$\frac{4n}{3}$+$\frac{2}{3}$，n∈Z ①．
根據(jù)f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上是單調(diào)函數(shù)，可得ω•$\frac{π}{2}$≤π，求得0＜ω≤2 ②，
結(jié)合①②可得ω=$\frac{2}{3}$ 或ω=2．
綜上可得，φ=$\frac{π}{2}$，ω=$\frac{2}{3}$ 或2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查誘導(dǎo)公式，三角函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，屬于中檔題．