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20.已知Sn為數列{an}的前n項和,a1=3,SnSn-1=2an(n≥2,n∈N*),則Sn=$\frac{6}{5-3n}$.

分析 分類討論,且由不完全歸納法知Sn≠0;從而化簡SnSn-1=2(Sn-Sn-1)為1=2($\frac{1}{{S}_{n-1}}$-$\frac{1}{{S}_{n}}$),從而判斷出{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以$\frac{1}{3}$為首項,-$\frac{1}{2}$為公差的等差數列,從而求得.

解答 解:①當n=1時,S1=a1=3,
②當n≥2時,SnSn-1=2an=2(Sn-Sn-1),
即Sn(Sn-1-2)=-2Sn-1
∵S1≠0,∴-2S1≠0,∴S2≠0;
∵S2≠0,∴-2S2≠0,∴S3≠0;
故由不完全歸納法知,Sn≠0;
故SnSn-1=2(Sn-Sn-1)可化為1=2($\frac{1}{{S}_{n-1}}$-$\frac{1}{{S}_{n}}$),
故$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=-$\frac{1}{2}$,
又∵$\frac{1}{{S}_{1}}$=$\frac{1}{3}$,
故{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以$\frac{1}{3}$為首項,-$\frac{1}{2}$為公差的等差數列,
故$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{2}$(n-1)=-$\frac{1}{2}$n+$\frac{5}{6}$=$\frac{5-3n}{6}$,
故Sn=$\frac{6}{5-3n}$;
故答案為:$\frac{6}{5-3n}$.

點評 本題考查了分類討論的思想應用及歸納法的應用,同時考查了構造數列的應用.

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