Question

7．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=$\frac{{{a}_{n}}^{2}+1}{2{a}_{n}}$（n∈N^*）．設(shè)b_n=$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n}+1}$．
（1）求證：b_n+1=b_n²．
（2）求數(shù)列{b_n}的通項公式．

Answer 1

分析 （1）直接由已知結(jié)合b_n=$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n}+1}$證明b_n+1=b_n²．
（2）由已知得b_n＞0且b_n≠1，把b_n+1=b_n²兩邊取對數(shù)，得lgb_n+1=2lgb_n，可得數(shù)列{lgb_n}是以lgb₁為首項，以2為公比的等比數(shù)列，寫出等比數(shù)列的通項公式后結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)得答案．

解答 （1）證明：∵a_n+1=$\frac{{{a}_{n}}^{2}+1}{2{a}_{n}}$，且b_n=$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n}+1}$．
∴$_{n+1}=\frac{{a}_{n+1}-1}{{a}_{n+1}+1}$=$\frac{\frac{{{a}_{n}}^{2}+1}{2{a}_{n}}-1}{\frac{{{a}_{n}}^{2}+1}{2{a}_{n}}+1}$=$\frac{（{a}_{n}-1）^{2}}{（{a}_{n}+1）^{2}}=（\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n}+1}）^{2}$=${_{n}}^{2}$；
（2）解：由（1）知b_n+1=b_n²，且由已知得b_n＞0且b_n≠1，
兩邊取對數(shù)，得lgb_n+1=2lgb_n，
∴$\frac{lg_{n+1}}{lg_{n}}=2$，則數(shù)列{lgb_n}是以lgb₁為首項，以2為公比的等比數(shù)列，
又$lg_{1}=lg\frac{1}{3}$，
∴$lg_{n}={2}^{n-1}•lg\frac{1}{3}$，則$_{n}=（\frac{1}{3}）^{{2}^{n-1}}$．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，考查等比數(shù)列的通項公式的求法及對數(shù)的運算性質(zhì)，是中檔題．