Question

13．設(shè)S_n是數(shù)列的前n項和，已知a₁=3，a_n+1=2S_n+3（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）令b_n=（2n-1）a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)列的遞推關(guān)系式推出數(shù)列是等比數(shù)列，然后求解通項公式．
（2）化簡數(shù)列的通項公式，利用錯位相減法求和，求解即可．

解答 解：（1）當n≥2時，由a_n+1=2S_n+3，得a_n=2S_n-1+3，（1分）
兩式相減，得a_n+1-a_n=2s_n-2s_n-1=2a_n，∴a_n+1=3a_n，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=3$，（3分）
當n=1時，a₁=3，a₂=2S₁+3=9，則$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=3$．
∴數(shù)列{a_n}是以3為首項，3 為公比的等比數(shù)列，（5分）
∴a_n=3ⁿ．（6分）
（2）由（1）得b_n=（2n-1）a_n=（2n-1）3ⁿ．
∴T_n=1×3+3×3²+5×3³+…+（2n-1）3ⁿ，
3T_n=1×3²+3×3³+5×3⁴+…+（2n-1）3ⁿ⁺¹，
錯位相減得：-2T_n=1×3+2×3²+2×3³+…+2×3ⁿ-（2n-1）3ⁿ⁺¹，（9分）
=-6-（2n-2）3ⁿ⁺¹                      （11分）
∴${T_n}=（n-1）×{3^{n+1}}+3$．           （12分）

點評 本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式定義域，通項公式的求法，數(shù)列求和的方法，考查計算能力．