Question

2．?dāng)?shù)列{a_n}為一等比數(shù)列，a_n＞0，a₂=4，a₄=16，求$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{lg{a}_{n+1}+lg{a}_{n+2}+…+lg{a}_{2n}}{{n}^{2}}$．

Answer 1

分析 設(shè)數(shù)列{a_n}為公比為q的等比數(shù)列，運用等比數(shù)列的通項公式可得公比為2，再由等比數(shù)列的求和公式和對數(shù)的運算性質(zhì)，可得所求極限．

解答 解：設(shè)數(shù)列{a_n}為公比為q的等比數(shù)列，a_n＞0，a₂=4，a₄=16，
可得q²=$\frac{{a}_{4}}{{a}_{2}}$=4，解得q=2（負(fù)的舍去），
則$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{lg{a}_{n+1}+lg{a}_{n+2}+…+lg{a}_{2n}}{{n}^{2}}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{lg（{a}_{n+1}{a}_{n+2}…{a}_{2n}）}{{n}^{2}}$
=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{lg（{{a}_{1}}^{n}{2}^{n+n+1+…+2n-1}）}{{n}^{2}}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{nlg{a}_{1}+\frac{n（3n-1）}{2}lg2}{{n}^{2}}$
=0+$\frac{3}{2}$lg2=$\frac{3}{2}$lg2．

點評 本題考查等比數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，考查數(shù)列極限的求法，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．