【題目】如圖,直三棱柱的底面為等邊三角形,、分別為、的中點(diǎn),點(diǎn)在棱上,且.
(1)證明:平面平面;
(2)若,,求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2).
【解析】
(1)推導(dǎo)出平面,可得出,結(jié)合,利用線(xiàn)面垂直的判定定理可得出平面,再由面面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立;
(2)由平面得出,利用勾股定理計(jì)算出的長(zhǎng),然后以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),、、所在直線(xiàn)分別為軸、軸、軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量法可求出二面角的余弦值.
(1)因?yàn)槿庵?/span>為直三棱柱,所以平面,
平面,,
因?yàn)?/span>為等邊三角形,為的中點(diǎn),所以.
又,所以平面,
平面,所以.
又因?yàn)?/span>,,所以平面.
又因?yàn)?/span>平面,所以平面平面;
(2)由(1)可知平面,所以.
設(shè),則有,即,得.
以為坐標(biāo)原點(diǎn),、、所在直線(xiàn)分別為軸、軸、軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
則,,,,,
設(shè)平面的法向量為,,,
由,令,可得,,則,
因?yàn)?/span>平面,所以平面的一個(gè)法向量為,
,
由圖形可知,二面角的平面角為銳角,所以二面角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)()的圖象上的動(dòng)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方的最小值為.
(1)求的值;
(2)設(shè),若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)、,且,證明:.(參考公式:)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家,某市為了制定合理的節(jié)水方案,對(duì)居民用水情況進(jìn)行調(diào)查,通過(guò)抽樣,獲得某年100為居民每人的月均用水量(單位:噸),將數(shù)據(jù)按照分成9組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求直方圖的的值;
(2)設(shè)該市有30萬(wàn)居民,估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù),說(shuō)明理由.
(3)估計(jì)居民月用水量的中位數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),且存在,使得,設(shè),,,.
(Ⅰ)證明單調(diào)遞增;
(Ⅱ)求證:;
(Ⅲ)記,其前項(xiàng)和為,求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知為正整數(shù),各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列滿(mǎn)足:,記數(shù)列的前項(xiàng)和為.
(1)若,求的值;
(2)若,求的值;
(3)若為奇數(shù),求證:“”的充要條件是“為奇數(shù)”.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知過(guò)拋物線(xiàn)y2=4x焦點(diǎn)F的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于P,Q兩點(diǎn),M為線(xiàn)段PF的中點(diǎn),連接OM,則△OMQ的最小面積為( )
A.1B.C.2D.4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某市為提升中學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng),激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,舉辦了一次“數(shù)學(xué)文化知識(shí)大賽”,分預(yù)賽和復(fù)賽兩個(gè)環(huán)節(jié).已知共有8000名學(xué)生參加了預(yù)賽,現(xiàn)從參加預(yù)賽的全體學(xué)生中隨機(jī)地抽取100人的預(yù)賽成績(jī)作為樣本,得到如下頻率分布直方圖.
(1)規(guī)定預(yù)賽成績(jī)不低于80分為優(yōu)良,若從上述樣本中預(yù)賽成績(jī)不低于60分的學(xué)生中隨機(jī)地抽取2人,求恰有1人預(yù)賽成績(jī)優(yōu)良的概率;
(2)由頻率分布直方圖可認(rèn)為該市全體參加預(yù)賽學(xué)生的預(yù)賽成績(jī)Z服從正態(tài)分布N(μ,σ2),其中μ可近似為樣本中的100名學(xué)生預(yù)賽成績(jī)的平均值(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替),且σ2=362.利用該正態(tài)分布,估計(jì)全市參加預(yù)賽的全體學(xué)生中預(yù)賽成績(jī)不低于91分的人數(shù);
(3)預(yù)賽成績(jī)不低于91分的學(xué)生將參加復(fù)賽,復(fù)賽規(guī)則如下:①每人的復(fù)賽初始分均為100分;②參賽學(xué)生可在開(kāi)始答題前自行決定答題數(shù)量n,每一題都需要“花”掉(即減去)一定分?jǐn)?shù)來(lái)獲取答題資格,規(guī)定答第k題時(shí)“花”掉的分?jǐn)?shù)為0.1k(k∈(1,2n));③每答對(duì)一題加1.5分,答錯(cuò)既不加分也不減分;④答完n題后參賽學(xué)生的最終分?jǐn)?shù)即為復(fù)賽成績(jī).已知學(xué)生甲答對(duì)每道題的概率均為0.7,且每題答對(duì)與否都相互獨(dú)立.若學(xué)生甲期望獲得最佳的復(fù)賽成績(jī),則他的答題數(shù)量n應(yīng)為多少?
(參考數(shù)據(jù):;若Z~N(μ,σ2),則P(μ﹣σ<Z<μ+σ)≈0.6827,P(μ﹣2σ<Z<μ+2σ)≈0.9545,P(μ﹣3σ<Z<μ+3σ)≈0.9973.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),,以為圓心的圓過(guò)兩點(diǎn),且與直線(xiàn)相切.若存在定點(diǎn),使得當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí),為定值,則點(diǎn)的坐標(biāo)為( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>D,若存在實(shí)常數(shù)及,對(duì)任意,當(dāng)且時(shí),都有成立,則稱(chēng)函數(shù)具有性質(zhì).
(1)判斷函數(shù)是否具有性質(zhì),并說(shuō)明理由;
(2)若函數(shù)具有性質(zhì),求及應(yīng)滿(mǎn)足的條件;
(3)已知函數(shù)不存在零點(diǎn),當(dāng)時(shí)具有性質(zhì)(其中,),記,求證:數(shù)列為等比數(shù)列的充要條件是或.
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