Question

【題目】已知函數(shù)（）的圖象上的動(dòng)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方的最小值為.

（1）求的值；

（2）設(shè)，若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)、，且，證明：.（參考公式：）

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）設(shè)，表示出，又代入消元，結(jié)合基本不等式求出的最小值，列方程得出的值；

（2）由題知，、是方程的兩個(gè)均大于－1且不為0的不相等的實(shí)根，可由韋達(dá)定理或圖象法求得，進(jìn)而判斷出且，又由，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出在區(qū)間的值域即證得.

解：（1）設(shè)在函數(shù)的圖象上，

則

即，所以

（2）證明：易得，（且）

所以（且）

令，因?yàn)槠鋵?duì)稱軸為直線

由題意知、是方程的兩個(gè)均大于－1且不為0的不相等的實(shí)根，

所以由，得

（法二：因?yàn)?/span>，，∴，所以，

即，即，又，所以）

因?yàn)?/span>，∴

又為方程的根，所以

∴

設(shè)，

則

因?yàn)?/span>時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增；

∴當(dāng)時(shí)，且

故