Question

【題目】已知，其中.

（1）求函數的極大值點；

（2）當時，若在上至少存在一點，使成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）＜1

【解析】試題分析：

(1)首先求得導函數，然后分類討論可得當≤1或=2時，無極大值；當1＜＜2時的極大值點位；當＞2時的極大值點為；

(2)原問題等價于當時，＞，結合(1)的結論計算可得的取值范圍是＜1.

試題解析：

（1）由已知=，＞0

當-1≤0，即≤1時，在（0,1）上遞減，在（1,+∞）上遞增，無極大值

當0＜-1＜1，即1＜＜2時在（0,-1）上遞增，在（-1，1）上遞減，在（1,+∞）上遞增，所以在處取極大值

當-1=1時，即=2時，在（0,+∞）上遞增，無極大值

當-1＞1時，即＞2時，在（0,1）上遞增，在（1，-1）上遞減，在（-1,+∞）上遞增，故在處取極大值

綜上所述，當≤1或=2時，無極大值；當1＜＜2時的極大值點位；當＞2時的極大值點為

（2）在上至少存在一點，使＞成立，

等價于當時，＞

由（1）知，①當≤時，

函數在上遞減，在上遞增

∴

∴要使＞成立，必須使＞成立或＞成立

由＞，＜

由＞ 解得＜1

∵＜1，∴＜1

②當≥時，函數在上遞增，在上遞減

∴≤＜

綜上所述，當＜1時，在上至少存在一點，使＞成立