Question

9．已知直線l：x+ay-1=0（a∈R）是圓C：x²+y²-4x-2y+1=0的對(duì)稱軸，過點(diǎn)A（4，a）作圓C的一條切線，切點(diǎn)為B，則|AB|=6．

Answer 1

分析 求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得圓心和半徑，由直線l：x+ay-1=0經(jīng)過圓C的圓心（2，1），求得a的值，可得點(diǎn)A的坐標(biāo)，再利用直線和圓相切的性質(zhì)求得|AB|的值．

解答 解：∵圓C：x²+y²-4x-2y+1=0，即（x-2）²+（y-1）² =4，
表示以C（2，1）為圓心、半徑等于2的圓．
由題意可得，直線l：x+ay-1=0經(jīng)過圓C的圓心（2，1），
故有2+a-1=0，∴a=-1，點(diǎn)A（-4，-1）．
∵AC=$\sqrt{（-4-2）^{2}+（-1-1）^{2}}$=2$\sqrt{10}$，CB=R=2，
∴切線的長|AB|=$\sqrt{40-4}$=6．
故答案為：6．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查圓的切線長的求法，解題時(shí)要注意圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線和圓相切的性質(zhì)的合理運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．