Question

18．已知兩個(gè)向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角為30°，|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{3}$，$\overrightarrow$為單位向量，$\overrightarrow{c}$=t$\overrightarrow{a}$+（1-t）$\overrightarrow$，則|$\overrightarrow{c}$|的最小值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．若$\overrightarrow$•$\overrightarrow{c}$=0，則t=-2．

Answer 1

分析 $\overrightarrow{c}$=t$\overrightarrow{a}$+（1-t）$\overrightarrow$，兩邊與$\overrightarrow{c}$作數(shù)量積運(yùn)算可得${\overrightarrow{c}}^{2}$=t²+t+1=$（t+\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{3}{2}$，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．由$\overrightarrow$•$\overrightarrow{c}$=0，利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)即可得出．

解答 解：$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$\sqrt{3}×1×cos3{0}^{°}$=$\frac{3}{2}$．
∴${\overrightarrow{c}}^{2}$=${t}^{2}{\overrightarrow{a}}^{2}$+$（1-t）^{2}{\overrightarrow}^{2}$+2t（1-t）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$
=3t²+（1-t）²+3t（1-t）
=t²+t+1
=$（t+\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{3}{2}$≥$\frac{3}{2}$，當(dāng)t=-$\frac{1}{2}$時(shí)取等號(hào)，
∴|$\overrightarrow{c}$|的最小值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵$\overrightarrow$•$\overrightarrow{c}$=0，
∴$\overrightarrow{c}$$•\overrightarrow$=t$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$+（1-t）$\overrightarrow$$•\overrightarrow$=$\frac{3}{2}$t+（1-t）=0，
解得t=-2．
故答案分別為：$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$；-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．