Question

13．（理科）已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=$\frac{{{a_n}（{a_n}+1）}}{2}$，n∈N^*．
（1）求證：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（2）設(shè)b_n=$\frac{1}{{{a_n}^2}}$，T_n=b₁+b₂+…+b_n，求證：$1≤{T_n}＜\frac{7}{4}$．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系、等差數(shù)列的定義即可證明；
（2）利用數(shù)列的單調(diào)性與“裂項(xiàng)求和”即可證明．

解答 （1）證明：∵S_n=$\frac{{{a_n}（{a_n}+1）}}{2}$，n∈N^*．
∴當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=$\frac{{a}_{1}（{a}_{1}+1）}{2}$ （a_n＞0），∴a₁=1．
當(dāng)n≥2時(shí)，由a_n=S_n-S_n-1=$\frac{{a}_{n}（{a}_{n}+1）}{2}$-$\frac{{a}_{n-1}（{a}_{n-1}+1）}{2}$．
化為（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵a_n+a_n-1＞0，
∴a_n-a_n-1=1（n≥2）．
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列．
（2）證明：b_n=${a_n}^2$=$\frac{1}{{n}^{2}}$．
當(dāng)n=1時(shí)，b₁=1＜$\frac{7}{4}$；
當(dāng)n=2時(shí)，b₁+b₂=1+$\frac{1}{4}$=$\frac{5}{4}$＜$\frac{7}{4}$；
當(dāng)n≥3時(shí)，b_n=$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{（n-1）n}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，
此時(shí)T_n=1+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$＜1+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{5}{4}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n}$=$\frac{7}{4}$-$\frac{1}{n}$＜$\frac{7}{4}$，
∴T_n＜$\frac{7}{4}$．
又T_n≥T₁=1，
∴$1≤{T_n}＜\frac{7}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、等差數(shù)列的定義、數(shù)列的單調(diào)性與“裂項(xiàng)求和”、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．