Question

17．已知曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數），C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+cosθ}\\{y=1+sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數）．
（1）化C₁、C₂的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；
（2）若曲線C₁和C₂相交于A，B兩點，求|AB|

Answer 1

分析 （1）曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數），消去參數可得普通方程，表示一條直線．C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+cosθ}\\{y=1+sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數），利用平方關系可得普通方程，表示一個圓．
（2）曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數），代入代入曲線C₂整理可得：${t}^{2}-3\sqrt{2}$t+4=0，利用|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$，即可得出．

解答 解：（1）曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數），消去參數可得：x-y+4=0，
曲線C₁為經過（-4，0）和（0，4）兩點的直線．
C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+cosθ}\\{y=1+sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數），利用平方關系可得：（x+2）²+（y-1）²=1，
曲線C₂為以（-2，1）為圓心，1為半徑的圓．
（2）曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數），
代入曲線C₂整理可得：${t}^{2}-3\sqrt{2}$t+4=0，
設A，B對應參數分別為t₁，t₂，則t₁+t₂=3$\sqrt{2}$，t₁•t₂=4，
∴|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了參數方程與普通方程的互化、直線的參數方程中參數t的幾何意義，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．