3.設(shè)函數(shù)f(x)=2cos2x+2$\sqrt{3}$sinxcosx(x∈R).
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)在0<x≤$\frac{π}{3}$的條件下,求f(x)的取值范圍.

分析 (1)利用三角恒等變換,化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式,再利用正弦函數(shù)的周期性求得函數(shù)f(x)的最小正周期.
(2)利用定義域和值域,求得在0<x≤$\frac{π}{3}$的條件下,求f(x)的取值范圍.

解答 解:(1)f(x)=2cos2x+2$\sqrt{3}$sinxcosx=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x+1=2sin (2x+$\frac{π}{6}$)+1,
所以,函數(shù)f(x)的最小正周期為π;
(2)∵0<x≤$\frac{π}{3}$時(shí),∴$\frac{π}{6}$<2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}$,故當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$時(shí) 函數(shù)取得最小值為2×$\frac{1}{2}$+1=2,
故當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時(shí),函數(shù)取得最大值為2×1+1=3,故f(x)的值域是[2,3].

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角恒等變換,正弦函數(shù)的周期性、定義域和值域,屬于基礎(chǔ)題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

13.已知函數(shù)f(x)=ax2+2(a-1)x-2lnx.
(1)當(dāng)a=1時(shí),求曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線(xiàn)方程;
(2)當(dāng)a>0時(shí),若f(x)在區(qū)間[1,e]上的最小值為1,求a的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

14.已知A=$\frac{3}{{\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{s}}}$,B=$\frac{p+q+s}{3}$( p,q,s∈(0,+∞))
(Ⅰ)分別就$\left\{{\begin{array}{l}{p=1}\\{q=1}\\{s=1}\end{array}}$和$\left\{{\begin{array}{l}{p=1}\\{q=2}\\{s=1}\end{array}}$判斷A與B的大小關(guān)系,并由此猜想:對(duì)于任意的正數(shù)p,q,s,A與B的大小關(guān)系及等號(hào)成立的條件;
(Ⅱ)請(qǐng)證明你的猜想.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

11.設(shè)函數(shù)y=f(x)(x∈R)的導(dǎo)函數(shù)為y=f′(x),且f(x)=f(-x),f′(x)<f(x).則下列三個(gè)數(shù):a=ef(2),b=f(3),c=e2f(-1)從小到大排列為b<a<c.(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

18.設(shè)函數(shù)f(x)=2ax-$\frac{x}$+lnx,若f(x)在x=1,x=$\frac{1}{2}$處取得極值,
(Ⅰ)求a、b的值;
(Ⅱ)求f(x)在[$\frac{1}{4}$,2]上的單調(diào)區(qū)間
(Ⅲ)在[$\frac{1}{4}$,2]存在x0,使得不等式f(x0)-c≤0成立,求c的最小值.
(參考數(shù)據(jù):e2≈7.389,e3≈20.08)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

8.如圖是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象,則下面判斷正確的是( 。
A.在區(qū)間(-2,1)上f(x)是增函數(shù)B.在(1,3)上f(x)是減函數(shù)
C.當(dāng)x=4時(shí),f(x)取極大值D.在(4,5)上f(x)是增函數(shù)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

15.x,y∈R,若|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≤2,則x+y的取值范圍為( 。
A.[-2,0]B.[0,2]C.[-2,2]D.(0,2)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

12.如圖中的實(shí)心點(diǎn)個(gè)數(shù)1,5,12,22,…,被稱(chēng)為五角形數(shù),其中第1個(gè)五角形數(shù)記作a1=1,第2個(gè)五角形數(shù)記作a2=5,第3個(gè)五角形數(shù)記作a3=12,第4個(gè)五角形數(shù)記作a4=22,…,若按此規(guī)律繼續(xù)下去,則an=$\frac{{3{n^2}-n}}{2}$.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

13.已知函數(shù)f(x)=emx-lnx-2.
(1)若m=1,證明:存在唯一實(shí)數(shù)t∈($\frac{1}{2}$,1),使得f′(t)=0;
(2)求證:存在0<m<1,使得f(x)>0.

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同步練習(xí)冊(cè)答案