Question

18．已知A，B為圓C：（x-m）²+（y-n）²=9（m，n∈R）上兩個不同的點（C為圓心），且滿足$|\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}|=2\sqrt{5}$，則|AB|=4．

Answer 1

分析 求得圓的圓心和半徑，運用向量的減法運算和數(shù)量積的性質(zhì)：向量模的平方即為向量的平方，求得|$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CB}$|²+|$\overrightarrow{AB}$|²=36，即可得到所求值．

解答 解：由圓C：（x-m）²+（y-n）²=9可得，
圓心C（m，n），半徑為3，
由題意可得|$\overrightarrow{CA}$|=|$\overrightarrow{CB}$|=3，
由|$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CB}$|²+|$\overrightarrow{AB}$|²=|$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CB}$|²+|$\overrightarrow{CA}$-$\overrightarrow{CB}$|²
=$\overrightarrow{CA}$²+$\overrightarrow{CB}$²+2$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$+$\overrightarrow{CA}$²+$\overrightarrow{CB}$²-2$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$
=2（$\overrightarrow{CA}$²+$\overrightarrow{CB}$²）=2（3²+3²）=36，
由$|\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}|=2\sqrt{5}$，可得|$\overrightarrow{AB}$|²=16，
即有|$\overrightarrow{AB}$|=4．
故答案為：4．

點評 本題考查圓的方程的運用，考查向量的數(shù)量積的性質(zhì)，主要是向量的平方即為模的平方，考查運算能力，屬于中檔題．