Question

7．已知點F是橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的右焦點，點B是短軸的一個端點，線段BF的延長線交橢圓C于點D，且$\overrightarrow{BF}=2\overrightarrow{FD}$，則橢圓C的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由橢圓的性質(zhì)求出|BF|的值，利用已知的向量間的關(guān)系、三角形相似求出D的橫坐標，再由橢圓的第二定義求出|$\overrightarrow{FD}$|的值，又由$\overrightarrow{BF}$=2$\overrightarrow{FD}$，建立關(guān)于a、c的方程，解方程求出$\frac{c}{a}$的值．

解答 解：如圖，BF=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$=a，
作DD₁⊥y軸于點D₁，則由$\overrightarrow{BF}$=2$\overrightarrow{FD}$，
得：$\frac{|\overrightarrow{OF}|}{|D{D}_{1}|}$=$\frac{|\overrightarrow{BF}|}{|\overrightarrow{BD}|}$=$\frac{2}{3}$，
所以，|$\overrightarrow{D{D}_{1}}$|=$\frac{3}{2}$|$\overrightarrow{OF}$|=$\frac{3}{2}$c，
即x_D=$\frac{3}{2}$c，
由橢圓的第二定義得|$\overrightarrow{FD}$|=e（$\frac{{a}^{2}}{c}$-$\frac{3}{2}$c）=a-$\frac{3{c}^{2}}{2a}$，
又由|$\overrightarrow{BF}$|=2|$\overrightarrow{FD}$|，得a=2（a-$\frac{3{c}^{2}}{2a}$），
a²=3c²，解得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本小題主要考查橢圓的方程與幾何性質(zhì)、第二定義、平面向量知識，考查了數(shù)形結(jié)合思想、方程思想，本題凸顯解析幾何的特點：“數(shù)研究形，形助數(shù)”，利用幾何性質(zhì)可尋求到簡化問題的捷徑．