Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，f（1）=0，xf′（x）-f（x）＞0（x＞0），則不等式f（x）＞0的解集是

 

．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：構(gòu)造函數(shù)

f(x)

x

，由(

f(x)

x

)′=

xf′(x)-f(x)

x2

，即x＞0時

f(x)

x

是增函數(shù)，判斷出當x＞1時，

f(x)

x

＞f（1）=0，f（x）＞0；進而分別看x＞1和0＜x＜1時f（x）與0的關(guān)系．再根據(jù)函數(shù)的奇偶性判斷-1＜x＜0和x＜-1時f（x）與0的關(guān)系，最后去x的并集即可得到答案．

解答： 解：(

f(x)

x

)′=

xf′(x)-f(x)

x2

＞0，即x＞0時

f(x)

x

是增函數(shù)
當x＞1時，

f(x)

x

＞f（1）=0，f（x）＞0；
0＜x＜1時，

f(x)

x

＜f（1）=0，f（x）＜0．
又f（x）是奇函數(shù)，所以-1＜x＜0時，f（x）=-f（-x）＞0；x＜-1時f（x）=-f（-x）＜0．
則不等式f（x）＞0的解集是（-1，0）∪（1，+∞）
故答案為：（-1，0）∪（1，+∞）．

點評：本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的應(yīng)用．在判斷函數(shù)的單調(diào)性時，�？衫�用導函數(shù)來判斷