Question

16．已知（2$\sqrt{x}$+$\frac{1}{\root{4}{x}}$）ⁿ（n∈N*）的展開式中，所有偶數項的二項式系數的和是128．
（1）求n的值；
（2）求展開式中的有理項．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：2^n-1=128，解出即可得出．
（2）由$（2\sqrt{x}+\frac{1}{\root{4}{x}}）^{8}$，可得通項公式T_r+1=${∁}_{8}^{r}$2^8-r•${x}^{4-\frac{3r}{4}}$，可得：r=0，4，8時，T_r+1為有理項．

解答 解：（1）∵（2$\sqrt{x}$+$\frac{1}{\root{4}{x}}$）ⁿ（n∈N*）的展開式中，所有偶數項的二項式系數的和是128．
∴2^n-1=128，
解得n=8．
（2）由$（2\sqrt{x}+\frac{1}{\root{4}{x}}）^{8}$，可得通項公式T_r+1=${∁}_{8}^{r}$$（2\sqrt{x}）^{8-r}$$（\frac{1}{\root{4}{x}}）^{r}$=${∁}_{8}^{r}$2^8-r•${x}^{4-\frac{3r}{4}}$，
可得：r=0，4，8時，T_r+1為有理項．
分別為：2⁸x⁴，${∁}_{8}^{4}{2}^{4}x$，$\frac{1}{{x}^{2}}$．

點評 本題主要考查二項展開式等基礎知識，考查運算化簡能力、推理計算能力、化歸轉化思想，屬于中檔題．