Question

已知拋物線 y²=4x
（1）傾斜角為

π

4

的直線l經(jīng)過拋物線的焦點，且與拋物線相交于A、B兩點，求線段AB的長．
（2）在拋物線上求一點P，使得點P到直線 l：x-y+4=0的距離最短，并求最短距離．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）聯(lián)立直線方程和拋物線方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，由根與系數(shù)關(guān)系結(jié)合拋物線過焦點的弦長公式得答案；
（2）求出與x-y+4=0平行且與拋物線相切的直線方程，得到切點坐標，由兩平行線間的距離求得答案．

解答： 解：（1）由y²=4x，得其焦點坐標為F（1，0），
又直線的傾斜角為

π

4

，則其斜率k=1，
∴A、B所在直線方程為y=x-1．
聯(lián)立

y=x-1 y2=4x

，得x²-6x+1=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=6．
∴|AB|=x₁+x₂+p=6+2=8；
（2）如圖，

設(shè)與直線 l：x-y+4=0平行且與拋物線相切的直線方程為x-y+m=0，
聯(lián)立

x-y+m=0 y2=4x

，得x²+（2m-4）x+m²=0．
由△=（2m-4）²-4m²=0，解得：m=1．
∴方程x²+（2m-4）x+m²=0化為x²-2x+1=0，解得x=1，則y=1+m=2．
∴P（1，2），
此時點P到直線 l：x-y+4=0的最短距離為d=

|4-1|

2

=

3 2

2

．

點評：本題考查了拋物線的簡單幾何性質(zhì)，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，訓練了弦長公式的應用，體現(xiàn)了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．